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Cross-Gamma 효과
Monday, April 06th, 2009 | Author: salbang

증권사에서 판매하고 있는 대부분의 ELS의 경우 트레이딩 룸 입장에서는 대체로 롱감마 포지션을 갖게 된다. 대체로란 말은 구간 구간 숏감마인 곳도 있다는 얘기. 아무튼 롱감마란 말이 무슨 얘기인고 하니 감마가 0보다 커서 순간 순간의 실현 변동성 \sigma_R이 판매할 때의 변동성(즉 내제 변동성이자 헤지 변동성) \sigma_I보다 높으면 이익을 얻는단 얘기다:

\frac{1}{2}{\Gamma (t)S^2 (t)(\sigma _R^2 (t) - \sigma _I^2 )dt.

내 비운의 리포트에서 정리한 바와 같이 주가가 생각보다 많이 움직이면 돈 벌고 적게 움직이면 돈 잃고 그렇단 얘기다.

그런데 요즘 많이 팔리는 ELS는 한종목이 아니라 두 종목이상으로 구성된 경우가 많다. 이런 경우 두 종목의 움직임에 따라 트레이더의 헤지 손실이 나타나는데 이게 한종목일 경우와는 다르게 좀 복잡하다. 게다가 두 종목씩 쌍으로 구성된 ELS를 열라 팔아대서 헤지 북(Book)에 들어가게 되는 기초자산수가 열라 많다. 이번 글에서는 더만(Derman)이 했던 대로 순간순간의 감마 Profit이 어떻게 되는지 이경우에 대해서 분석해 보려고 한다.

우선 n개의 기초자산 S_1,\dots,S_n으로 구성된 옵션 O의 경우 BSM 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial O}{\partial t} + r\sum_{i=1}^n S_i\frac{\partial O}{\partial S_i} + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nv_{ij} S_iS_j\frac{\partial^2 O}{\partial S_i \partial S_j} = rO.

여기서 v_{ij}는 기초자산 i와 j의 log 수익률 간의 공분산(covariance)이다. 이를 행렬 형태로 표현하면

\frac{\partial O}{\partial t} + rS^T\Delta+\frac{1}{2}S^TV\otimes\Gamma S= rO

인데 윗 첨자 T는 행렬 및 벡터의 전치(Transpose)를 의미하며 S := [S_1,\dots,S_n]^T이고 V는 v_{ij}의 행렬, \Gamma는 헤시안(Hessian) 행렬로서 각 원소는 \gamma_{ij} := \frac{\partial^2 O}{\partial S_i\partial S_j}로 정의된다. 행렬연산자 \otimes는 Hadamard product라고 해서 사이즈가 같은 행렬 둘을 대응원소별로(element-wise, component-wise)로 곱하는 녀석이다.

아무튼 귀챃으니까 무위험 수익률은 무시하고, r=0, 델타 헤지 완벽히하면

\frac{\partial O}{\partial t}+\frac{1}{2}S^TV\otimes\Gamma S=0 \Leftrightarrow \frac{\partial O}{\partial t}+\frac{1}{2}dS^T\Gamma dS=0

와 같다. 이제 더만이 정리했던 것을 그대로 따라하면 순간순간의 헤지 손익은

(순간손익)=\frac{1}{2}S(t)^T \Gamma(t) \otimes (V_R(t) - V_I)S(t)dt

와 같이 된다. 여기서 dS := [dS_1,\dots,dS_n]이고 V_R은 실현 공분산 V_I는 판매 공분산이자 헤지 공분산이다.

이거 다 좋은데 해석 불가다 -_-; OTL. 억지로 좀 해석해 보자면 \otimes의 성질 중 하나가 A와 B가 positive definite하면 A\otimes B도 positive definite하다는 것이다. 따라서 \Gamma가 positive definite하고 V_R-V_I가 positive definite하면, 모든 기초자산이 얼루 튀건 상관 없이 전체적으로 충분히 움직여만 주면 트레이더가 무조건 돈 번단 얘기다 *^^*.

그런데 \Gamma가 positive definite하면 옵션의 이론가 곡면이 convex하니까 기초자산이 하나일 때와 의미가 통하지? 어떤 행렬이 positive definite하다는 말은 스케일러(scalar) 값이 양수란 말과 상통하기도 한다. positive definite이면 모든 eigen-value들이 양수이기도 하고 말이다.

실제로 하루하루 손익이 어디서 발생했는지 분석할 목적이라면 다음과 같은 Discretize 버전을 쓰는 것이 좋을 것 같다

(크로스 감마 및 감마 손익)=\frac{1}{2}\Delta S^T \Gamma(t) \Delta S.

여기서 감마 손익을 제하고 싶으면

(크로스 감마 손익)=\frac{1}{2}\Delta S^T \left(\Gamma(t)-\mathrm{diag}(\Gamma(t))\right) \Delta S.

만약 하루 사이의 손익 분석을 하는 것이라면 \Delta S는 하루 동안 변한 주가가 되는 것이고, \Gamma(t)는 어제 혹은 오늘의 \Gamma 아님 내삽 한 값을 쓰면 될 것 같다.

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다 못 쓴 채로 회사를 옮겨 빛을 못 본 비운의 리포트
Sunday, January 11th, 2009 | Author: salbang

누가 내 치즈를 옮겼지?

- ELF운용과 변동성 투자

최근 금융공학 기법이 유행하면서 그 중 동적 옵션 복제 기법을 응용한 Equity Linked Fund(ELF)에 대한 관심이 많아지고 있다. 일반적인 펀드와는 달리 ELF는 주가 혹은 지수가 하락하더라도 정해진 범위를 넘어서지 않으면 미리 정해진 수익구조의 수익률을 추구하는 등 일반 인은 이해하기 쉽지 않은 펀드다. 하지만 ‘보장’이 아닌 ‘추구’란 점에 유의해야 하며 이 말이 투자자에게 어떤 의미를 갖는지 자세히 알아야 합리적인 투자가 가능할 것이다. 일반적으로 운용손익을 운용사가 책임져 약속한 조건에 따른 쿠폰(이자)을 지급하는 Equity Linked Securities(ELS)와 달리 ELF는 운용 손익이 투자자에게 전이된다. 따라서 펀드 운용에 어떤 위험 혹은 기회가 내재되어 있는지 안다면 운용자에게는 합리적인 위험 헤지(Hedge)에 투자자에게는 합리적인 ELF 투자에 큰 도움이 되리라 생각한다.

ELF는 기본적으로 델타 헤지 기법을 통해 기초자산이 되는 주식 혹은 선물과 머니 마켓 어카운트를 사용해 옵션을 복제하는 기법을 사용하기 때문에 먼저 델타 헤지가 무엇인지 알아보도록 하고 델타 헤지를 수행하는 것이 투자자에게 어떤 투자기회 혹은 위험을 의미하는지 알아보도록 하자.

블랙-숄스-머튼 공식과 델타 헤지

델타 헤지를 이해하려면 옵션의 가격을 어떻게 산정하는지를 이해하여야 한다. 이 섹션에서는 옵션 가격을 산정하는데 사용하는 블랙-숄스-머튼(Black-Scholes-Merton, BSM) 공식의 도출 과정에서 도출되는 델타 헤지에 대해 설명하겠다. 이미 이 내용을 알고 있다면 다음 섹션으로 넘어가도 좋다.

어떤 옵션이든 그 옵션의 기초 자산과 머니 마켓 어카운트를 사용해 동적으로 복제할 수 있다. 옵션은 약속된 날, 즉 만기 T에 기초자산을 정해진 행사 가격이나 행사 공식을 사용해 구한 가격에 사거나 팔 수 있는 권리이지만 대게는 편의상 현금을 교환하는 것으로 정하는 경우가 많다. 따라서 옵션 O의 가치는 시간 t와 기초자산의 가격 S(t)에 대한 함수 즉 O(t,S(t)로 표현할 수 있다. 기초자산의 가격은 시시각각 변하고 미래 만기 시점에서의 가격을 미리 알 수는 없는 노릇이므로 만기 전에 옵션의 가치를 알기란 정말 어려운 일이다. 하지만 옵션의 가치를 정확히 알 수 있는 시점이 있는데 바로 만기시점이다. 이 때 옵션의 가치는 O(T,S(T))인데, 구체적으로 행사가 K인 유러피언 콜 옵션(European Call Option)의 만기시 가치를 예로 들면

O(T,S(T)) = \max (0,S(T) - K)

가 된다.

즉 우리는 미래 시점에서야 정확한 가치를 알 수 있는 물건의 현재 가격을 추정해야 하는 어려운 일을 하고자 하는 것이다. 이 추정을 하는 방법은 여러 가지가 있지만 델타 헤지를 이해하는데 도움이 되도록 기초자산과 머니 마켓 어카운트를 사용해 옵션을 복제하는데 드는 비용을 계산하도록 하겠다. 동일한 현금 흐름을 제공하는 두 물건이 있는데 두 물건의 가격이 다르다면 무위험 차익거래 기회가 생기게 되므로 시장이 효율적이라면 두 물건의 가치는 같아야 한다. 따라서 옵션의 복제 비용이 곧 옵션의 공정 가치라 할 수 있다.

기하 브라우니언 모션

먼저 주가의 움직임을 설명할 수 있는 모델이 필요한데 Ito 프로세스 중 가장 널리 쓰이는 기하 브라우니언 모션(Geometric Brownian Motion, GBM)을 사용하겠다. 이 모델은 주가 S(t)의 움직임을

S(t) - S(0) = \int_0^t {\mu S(s)ds}+\int_0^t {\sigma S(s)dW(s)}

으로 표현하는데 이를 미분형 약식으로 표현하면

dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t)dW(t) \leftrightarrow \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dt + \sigma dW(t)                  (1)

이고 약식이 더 이해하기 쉽다. 여기서 \mu는 기대 수익률 혹은 드리프트(drift), \sigma는 변동성(volatility), W(t)는 표준 브라우니언 모션이다[Durrett, 1999]. 간단히 설명해 이 약식에 따르면 매우 짧은 시간 동안 주가의 수익률 dS(t)/S(t)은 예측할 수 있는 부분인 \mu dt와 예측 불가한 \sigma dW(t)로 나뉜다.

옵션 복제

이 섹션에서는 기대 수익률과 변동성 모두 상수로 가정한다. 길을 잃지 않기 위해 목표를 다시 확인하면 우리는 기초자산과 머니 마켓 어카운트로 옵션 한 개를 복제하고자 한다. 복제를 위한 포트폴리오의 가치도 시간에 따라 변하게 되므로 이를 \Pi (t)라고 하자. 이 포트폴리오는 \Delta (t)개의 기초자산과 \Pi(t)-\Delta(t)S(t)만큼의 머니 마켓 계정으로 이루어져있다. 기초자산 수 \Delta(t)역시 주가 S(t)와 같은 랜덤 프로세스이지만 둘 다 t시점에 알 수 있는 모든 정보로 정확한 값을 알아낼 수 있다. 즉 이 복제 포트폴리오의 누적손익 \Pi(t)-\Pi(0)은 머니 마켓 계정 부분과 보유 기초자산에서 발생하며, 이를 수식으로 표현하면

\Pi(t)-\Pi(0) = \int_0^t{r\left( {\Pi(s)-S(s)\Delta (s)}\right)ds}+\int_0^t{\Delta(s)dS(s)}

가 된다. 여기서 r은 머니 마켓 계정의 이자율, 즉 무위험 수익률이다. 위 식을 수식(1)을 사용하여 Ito 프로세스에 대한 적분의 정의를 이용해 전개하면

\Pi(t)-\Pi(0)=\int_0^t{r\Pi (s)+(\mu-r)S(s)\Delta(s)ds}+\int_0^t{\sigma S(s)\Delta(s)dW(s)}            (2)

가 된다.

한편 우리가 복제하고자 하는 옵션의 가치 O(t,S(t))역시 시간에 따라 변하는데 이 변화를 Ito-Deoblin 정리[Shreve, 2004]를 사용해 구해보면

O(t,S(t)) - O(0,S(0))

= \int_0^t {\frac{{\partial O}}{{\partial t}}ds + } \int_0^t {\frac{{\partial O}}{{\partial S}}dS(s) + } \frac{1}{2}\int_0^t {\frac{{\partial ^2 O}}{{\partial S^2 }}\sigma d[S,S](s)}                                      (3)

= \int_0^t {\left( {\frac{{\partial O}}{{\partial t}} + \mu S(s)\frac{{\partial O}}{{\partial S}} + \frac{1}{2}\sigma ^2 S^2 \frac{{\partial ^2 O}}{{\partial S^2 }}} \right)ds + } \int_0^t {\frac{{\partial O}}{{\partial S}}\sigma S(s)dW(s)}                      (4)

가 된다. 옵션을 복제하고자 했으니 복제 시작 시점에서 복제 포트폴리오와 옵션의 가치가 같고, 즉 \Pi (0) = O(0,S(0)), 시시각각 변화하는 부분을 같게 맞춰 주면 최종 결과인 \Pi(t)와 O(t,S(t))가 같아지게 된다. 시시각각 변화하는 부분을 같게 맞추려면 같은 적분 연산자를 갖는 피적분식을 모든 시점에서 같게 만들어 주면 된다. 따라서 다음과 같은 두 가지 조건이 더 추가 되게 된다.

r\Pi (t) + (\mu - r)\Delta (t)S(t) = \frac{{\partial O}}{{\partial t}} + \mu S(t)\frac{{\partial O}}{{\partial S}} + \frac{1}{2}\sigma ^2 S^2 \frac{{\partial ^2 O}}{{\partial S^2 }},

\sigma S(t)\Delta (t) =\sigma S(t)\frac{{\partial O}}{{\partial S}}

위 식에서 두 번째 식을 더 정리하면 \Delta (t) = {\partial O}/{\partial S}
이 되고 시시각각 피적분식이 동일하기 때문에 최종 결과물이 동일, 즉 Pi (t) = O(t,S(t)) 혹은 옵션 가치는 복제 비용이란 사실을 이용하면 위 첫 번째 식에서 옵션 가치에 대한 식인 BSM 미분 방정식

rO(t,S(t)) = \frac{{\partial O}}{{\partial t}} + rS(t)\frac{{\partial O}}{{\partial S}} + \frac{1}{2}\sigma ^2 S^2 \frac{{\partial ^2 O}}{{\partial S^2 }}                                          (5)

를 유도하게 된다. 즉 복제 포트폴리오를 관리하는데 가장 중요한 부분은 옵션 한 개 대비 기초자산을 \Delta (t) = {\partial O} / {\partial S}
만큼 시시각각 맞춰 주는 작업이며 이를 델타 헤징이라 한다.

델타 헤지된 옵션 포트폴리오의 손익 구조

BSM 공식 도출 시 설정한 가정이 맞고 위에서 설명한 델타 헤지 방법에 따라 포트폴리오를 충실히 재조정한다면 이론적으로 손익은 발생하지 않아야 한다. 하지만 현실적으로 연속적인 재조정은 할 수 없기 때문에 기본적으로 이산화에 따른 오류(discretization error)가 발생하며 또한 빈번한 매매에 따른 거래 비용도 발생한다. 사실 연속적인 재조정을 하고 거래 비용이 없다고 하더라도 손익이 발생하게 되는데, 이는 BSM 공식의 도출 시에 설정한 몇 가지 가정 중에 사실이 아닌 부분이 있기 때문이다. 이 중 가장 영향력이 큰 사실은 바로 변동성이 시시각각 변하는 예측 불가한 랜덤 프로세스라는 점이다. 이 섹션에서는 이산화 오류와 변동성의 변화가 델타 헤지된 포트폴리오의 손익에 어떤 영향을 미치는지 알아보도록 하겠다. 우선 간단한 옵션인 유러피언 콜 옵션을 기준으로 알아보자.

헤지된 유러피언 콜 옵션의 수익 구조

우선 유러피언콜 옵션(European Call Option)의 만기 시 손익인

C(T,S(T)) = \max (0,S(T) - K)

를 (5)에 O대신 C를 사용하여 적용하면 C(t,S(t))에 대한 해를 얻을 수 있으며 자세한 것은 부록을 참조하길 바란다.

어떤 시점에서 기초자산 가격 변화에 대한 유러피언 옵션의 가격 변화와 재조정 하지 않은 복제 포트폴리오의 가치 변화를 그림 1을 통해 알아볼 수 있다. 그림 2에서는 콜 옵션 보유분을 복제 포트폴리오를 통해 헤지한 포트폴리오 H(t): = C(t,S(t)) - \Pi (t)의 기초자산 가격 변화에 따른 손익을 볼 수 있다. 기초자산의 가격이 어느 방향으로 움직이든 상관없이 이익이 나는 것을 볼 수 있는데, 이는 기초자산 가격대비 옵션의 가치 함수가 볼록(Convex)하기 때문이다. 그림에서 보듯 많이 볼록할수록 작은 움직임에도 큰 이익일 나는 것을 알 수 있다. 이 그림만 본다면 투자자가 무위험 이득을 얻을 수 있다는 생각을 할지도 모르겠다. 공짜 점심은 없다. 뭔가 크게 놓친 것이 있다. 옵션의 시간가치가 고려되지 않았다는 사실이다.

그림 3에서 볼 수 있듯이 기초자산 가격 대비 옵션의 가치 함수는 시간이 지날수록 아래로 하향 이동하며 볼록함을 점점 잃는다. 이를 반영해서 헤지된 포트폴리오의 손익을 따져보면 그림 4와 같은 결과를 얻게 된다. 그림 4에서 보다시피 기초자산의 가격이 크게 움직이지 않으면 헤지된 포트폴리오에서는 손실이 발생하고 크게 움직이면 이익이 발생한다. 기초자산 가격이 얼마나 크게 움직이느냐는 변동성에 달렸다. 즉 헤지된 포트폴리오를 구성하고 반복적인 비연속 재조정을 하는 것은 변동성에 베팅하는 것과 같다.

1 옵션가격과 복제 포트폴리오의 가치 변화 2 헤지된 포트폴리오의 손익
주: 기초자산의 가격 변화 대비 콜 옵션 및 재조정되지 않는 복제 포트폴리오의 가치 변화 주: 기초자산의 가격 변화 대비 재조정되지 않는 헤지된 포트폴리오의 손익 변화. 기초자산의 가격이 상승하든 하락하든 이익이 발생한다.
3 시간 경과에 따른 옵션 가치 변화 4 시간가치 하락을 고려한 손익
주: 시간이 지날수록 옵션의 가치가 떨어지기 때문에 기초자산 대비 BSM 옵션 가치 그래프는 시간이 지날수록 아래로 하향 이동하면서 S=K근처로 볼록함이 집중되며 K에서 멀어질수록 볼록함(Convexity)을 잃는다. 주: 기초자산의 가격이 변하면서 시간이 흐르기 때문에 실제로는 기초자산의 가격이 충분히 크게 움직이지 않으면 손실이 난다.

델타 헤지는 기초자산의 가격 변화 경로에 민감한 변동성 투자

이 섹션은 [Derman, 2008]을 참고하여 작성하였다. 그림 3과 그림 4에서 볼 수 있듯 헤지된 포트폴리오의 손익의 크기는 변동성뿐만 아니라 포트폴리오를 재조정한 시점의 기초자산 가격 근처로 손익함수가 얼마나 볼록하느냐에 따라 달라진다.

이를 수식으로 분석해 보겠다. 복잡도를 줄이기 위해 무위험 수익률을 0으로 가정하겠다. 먼저 수식(4)에서 수식(2)를 빼면

H(t) = \int_0^t {\left( {\frac{{\partial O}}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\sigma ^2 S^2 \frac{{\partial ^2 O}}{{\partial S^2 }}} \right)ds}                                            (6)

이고 이를 미분형 약식으로 다시 써보면

dH = \frac{{\partial O}}{{\partial t}}dt + \frac{1}{2}\sigma ^2 S^2 \frac{{\partial ^2 O}}{{\partial S^2 }}dt = \Theta dt + \Gamma S^2 \sigma ^2 dt

가 된다. 위 식에서 헤지 파라미터 \Theta := \partial O/\partial t와 \Gamma := \partial^2 O / \partial S^2는 옵션 트레이더들의 관습대로 사용하였다. 위 식을 해석해 보면 dH는 매우 짧은 시간동안 헤지된 포트폴리오의 변화 분, 즉 헤지된 포트폴리오의 손익이라 할 수 있다. 이 변화분은 시간가치의 변화와 변동성에 의한 손익의 합으로 나타난다. 사실 위 식은 BSM 미분방정식 (5)에 r=0을 사용한 것과 같으므로 변동성이 상수란 가정이 맞고 연속적인 재조정만 할 수 있다면 H(t)=0이 된다는 것을 알 수 있다. 즉 기초자산의 실현 변동성이 상수이면서 옵션의 가격결정 파라미터와 정확히 일치하면 손익이 발생하지 않는다. 연속적인 재조정을 하지 못한다면 시간가치의 하락은 제어할 수 없는 부분이므로

H(t + \Delta t) - H(t) = \int_t^{t + \Delta t} {\Theta dt}+\Gamma S^2 \sigma ^2 \Delta t+\text{(Higher term error)}

와 같은 이산화 오류가 발생하여 결국 시간가치하락 및 변동성과 Gamma에 의한 손익이 발생한다. 유러피언 콜 옵션의 경우 \Theta는 항상 음수이고 \Gamma는 양수이므로 그림 4에서 본 헤지된 포트폴리오의 손익구조를 위 식을 통해 이해할 수 있다.

변동성도 시시각각 변하는 좀더 현실적인 상황에서 생각해보도록 하자. 다만 처음 정한 옵션 포지션을 만기까지 시장을 통해 청산하지 않는 다고 가정한다. 사실 ELF는 만기까지 어떤 가상의 옵션을 복제하는 구조이므로 그리 무리한 가정도 아니다. 하지만 시장에 정확한 반대 포지션이 존재하는 경우 시장을 통해 정적 헤지를 시도할 수는 있다.

이제부터는 변동성을 두 가지로 나눠 옵션을 발행한 시점에 정한 내재 변동성 \sigma_I와 옵션의 일생동안 계속 변하는 기초자산의 실현 변동성 \sigma_R(t)을 추가해 사용하도록 하겠다. 단 헤지파라미터 \Delta(t)는 \sigma_I를 기준으로 구한 것이다. 실질적으로 기초자산의 가격 변화는 실현 변동성을 고려하는 경우

S(t) - S(0) = \int_0^t {\sigma _R (t)S(t)dW(t)}

를 따르게 된다. 따라서 볼록함에서 발생하는 손익(이익)은

1/2\int_t^{t + \Delta t} {\Gamma (t)S(t)^2 \sigma _R^2 (t)dt}

가 되고 (6)에서 알 수 있듯 옵션의 시간 가치 하락으로 인한 손익(손실)은

\int_t^{t + \Delta t} {\Theta (t)dt}=- 1/2\int_t^{t + \Delta t} {\Gamma (t)S^2 (t)\sigma _I^2 dt}

가 된다. 따라서 실현변동성을 고려할 경우 연속적으로 재조정된 헤지된 포트폴리오에서 발생하는 누적손익 \bar H(t)
는

\bar H(t) = \frac{1}{2}\int_0^t {\Gamma (t)S^2 (t)(\sigma _R^2 (t) - \sigma _I^2 )dt                                             (7)

가 된다. \Gamma는 시간에 대한 함수이기도 하지만 기초자산의 가격에도 영향을 받는데다가 위 식의 피적분자는 두 가지 변동성의 제곱의 차이에 \Gamma (t)S^2 (t)가 곱해져 있기 때문에, 헤지된 포트폴리오의 누적손익은 순수하게 변동성에만 노출 된 것이 아니라 주가의 변화 및 그 경로에도 영향을 받게 된다. 따라서 연속적으로 재조정이 된다 하더라도 헤지된 유러피언 콜 옵션 보유 포트폴리오는 대략 그림 5와 같은 순간 손익구조를 가지며 실현 변동성이 내재 변동성보다 큰 경우 이익이 발생한다.

5 실현변동성에 의한 순간손익
주: 순간적으로 기초자산이 움직이는 정도의 크기는 실현 변동성에 비례하므로 \sigma_R을 \Delta S/S로 생각할 수도 있다.

참고문헌

Derman, Emanuel. Lecture 2: Dynamic replication: Myths and realities of option pricing. Manuscript. http://www.ederman.com/new/docs/laughter.html

Durrett, Rick. Essentials of Stochastic Processes. Springer, New York, NY, USA. 1999.

Shreve, Steven E. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous Time Models. Springer, New York, NY, USA. 2004.

W(t)는 어떤 확률공간 (\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})
에서 정의된 표준 브라우니언 모션이며, S(t)와 \Delta(t)는 W(t)에 의해 생성된 Filtration \mathcal{F}(t)에 적응된(adapted) 프로세스다.

연속 복리(Continuously compounded) 이자 수익률이다.

[S,S](t)는 S(t)의 [0,t]구간에 대한 Quadratic Variation이고, d[S,S](t)는 S(t)의 Quadratic Variation의 극한 증분이며 미분형 약식에서는 dS(t)dS(t)로 표현한다.

무위험 이자 수익률을 0으로 하지 않아도 동일한 결과를 얻을 수 있다.

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