증권사에서 판매하고 있는 대부분의 ELS의 경우 트레이딩 룸 입장에서는 대체로 롱감마 포지션을 갖게 된다. 대체로란 말은 구간 구간 숏감마인 곳도 있다는 얘기. 아무튼 롱감마란 말이 무슨 얘기인고 하니 감마가 0보다 커서 순간 순간의 실현 변동성 이 판매할 때의 변동성(즉 내제 변동성이자 헤지 변동성) 보다 높으면 이익을 얻는단 얘기다:

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내 비운의 리포트에서 정리한 바와 같이 주가가 생각보다 많이 움직이면 돈 벌고 적게 움직이면 돈 잃고 그렇단 얘기다.

그런데 요즘 많이 팔리는 ELS는 한종목이 아니라 두 종목이상으로 구성된 경우가 많다. 이런 경우 두 종목의 움직임에 따라 트레이더의 헤지 손실이 나타나는데 이게 한종목일 경우와는 다르게 좀 복잡하다. 게다가 두 종목씩 쌍으로 구성된 ELS를 열라 팔아대서 헤지 북(Book)에 들어가게 되는 기초자산수가 열라 많다. 이번 글에서는 더만(Derman)이 했던 대로 순간순간의 감마 Profit이 어떻게 되는지 이경우에 대해서 분석해 보려고 한다.

우선 n개의 기초자산 으로 구성된 옵션 의 경우 BSM 방정식은 다음과 같다.

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여기서 는 기초자산 와 의 log 수익률 간의 공분산(covariance)이다. 이를 행렬 형태로 표현하면

인데 윗 첨자 는 행렬 및 벡터의 전치(Transpose)를 의미하며 이고 는 의 행렬, 는 헤시안(Hessian) 행렬로서 각 원소는 로 정의된다. 행렬연산자 는 Hadamard product라고 해서 사이즈가 같은 행렬 둘을 대응원소별로(element-wise, component-wise)로 곱하는 녀석이다.

아무튼 귀챃으니까 무위험 수익률은 무시하고, , 델타 헤지 완벽히하면

와 같다. 이제 더만이 정리했던 것을 그대로 따라하면 순간순간의 헤지 손익은

(순간손익)

와 같이 된다. 여기서 이고 은 실현 공분산 는 판매 공분산이자 헤지 공분산이다.

이거 다 좋은데 해석 불가다 -_-; OTL. 억지로 좀 해석해 보자면 의 성질 중 하나가 와 가 positive definite하면 도 positive definite하다는 것이다. 따라서 가 positive definite하고 가 positive definite하면, 모든 기초자산이 얼루 튀건 상관 없이 전체적으로 충분히 움직여만 주면 트레이더가 무조건 돈 번단 얘기다 *^^*.

그런데 가 positive definite하면 옵션의 이론가 곡면이 convex하니까 기초자산이 하나일 때와 의미가 통하지? 어떤 행렬이 positive definite하다는 말은 스케일러(scalar) 값이 양수란 말과 상통하기도 한다. positive definite이면 모든 eigen-value들이 양수이기도 하고 말이다.

실제로 하루하루 손익이 어디서 발생했는지 분석할 목적이라면 다음과 같은 Discretize 버전을 쓰는 것이 좋을 것 같다

(크로스 감마 및 감마 손익).

여기서 감마 손익을 제하고 싶으면

(크로스 감마 손익).

만약 하루 사이의 손익 분석을 하는 것이라면 는 하루 동안 변한 주가가 되는 것이고, 는 어제 혹은 오늘의 아님 내삽 한 값을 쓰면 될 것 같다.