Song for the Gamma Long을 함 뒤집어 봤습니다 ^^.

Yesterday,
My P&L was higher than today,
Cause the market opened with such a big bloody gap.
Oh I believe in yesterday.

Why it went so low
I don’t know.
I coun’t catch the gap.
I am theta long
And now I long
For yesterday.

Suddenly,
I’m not half the NAV I used to be
With this theta hanging over me
Oh I believe in yesterday

The index moves too fast
And more I lose,
To my dismay,
Now my premium’s gone
And so I long
For yesterday.

[원본 링크]

Yesterday,
My P&L was higher than today,
Cause I have this bloody time decay.
Oh I believe in yesterday

Why it went so low
I don’t know.
I did no trades.
I am gamma long
And now I long
For yesterday

Suddenly,
I’m not half the NAV I used to be
With this gamma hanging over me
Oh I believe in yesterday

The index never moves
And more I lose,
To my dismay.
Now my premium’s gone
And so I long
For yesterday.

[해석]
어제만해도,
내 손익은 오늘보다 좋았다네,
왜냐면 이 빌어먹을 시간가치 하락 덕분이지.
아 젠장 어제 였으면 좋겠네.

도대체 손익이 왜 엉망이 됐을까?
젠장 모르겟다.
난 거래를 하지도 않았단 말야.
그저 어제로 돌아갔으면 좋겠구만.

순식간에
내 포지션의 순자산가치(Net Asset Value)가 반토막이 났다네,
다 이 빌어먹을 감마 때문이여.
어제였음 좋겠네.

지수는 미동도 않고 있어.
그럴수록 난 더 잃고 있다네,
빌어먹을 ㅠㅠ,
내 프리미엄 다 날라갔네.
그래서 어제 였으면 좋겠단 말야.

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이 시를 이해하기 위한 포인트:
롱감마 포지션으로 어떻게 돈을 벌지를 이해해야 함. 롱감마 포지션은 변동성을 먹는 포지션이고 변동성으로부터의 이익은 주가의 급격한 움직임을 잡음으로서 실현됨. 주가가 가만히 있으면 시간가치로 깨지고 변동성에 의한 이익은 하나도 없음.

이 글(누가 내 치즈를 옮겼지?) 참조

증권사에서 판매하고 있는 대부분의 ELS의 경우 트레이딩 룸 입장에서는 대체로 롱감마 포지션을 갖게 된다. 대체로란 말은 구간 구간 숏감마인 곳도 있다는 얘기. 아무튼 롱감마란 말이 무슨 얘기인고 하니 감마가 0보다 커서 순간 순간의 실현 변동성 이 판매할 때의 변동성(즉 내제 변동성이자 헤지 변동성) 보다 높으면 이익을 얻는단 얘기다:

.

내 비운의 리포트에서 정리한 바와 같이 주가가 생각보다 많이 움직이면 돈 벌고 적게 움직이면 돈 잃고 그렇단 얘기다.

그런데 요즘 많이 팔리는 ELS는 한종목이 아니라 두 종목이상으로 구성된 경우가 많다. 이런 경우 두 종목의 움직임에 따라 트레이더의 헤지 손실이 나타나는데 이게 한종목일 경우와는 다르게 좀 복잡하다. 게다가 두 종목씩 쌍으로 구성된 ELS를 열라 팔아대서 헤지 북(Book)에 들어가게 되는 기초자산수가 열라 많다. 이번 글에서는 더만(Derman)이 했던 대로 순간순간의 감마 Profit이 어떻게 되는지 이경우에 대해서 분석해 보려고 한다.

우선 n개의 기초자산 으로 구성된 옵션 의 경우 BSM 방정식은 다음과 같다.

.

여기서 는 기초자산 와 의 log 수익률 간의 공분산(covariance)이다. 이를 행렬 형태로 표현하면

인데 윗 첨자 는 행렬 및 벡터의 전치(Transpose)를 의미하며 이고 는 의 행렬, 는 헤시안(Hessian) 행렬로서 각 원소는 로 정의된다. 행렬연산자 는 Hadamard product라고 해서 사이즈가 같은 행렬 둘을 대응원소별로(element-wise, component-wise)로 곱하는 녀석이다.

아무튼 귀챃으니까 무위험 수익률은 무시하고, , 델타 헤지 완벽히하면

와 같다. 이제 더만이 정리했던 것을 그대로 따라하면 순간순간의 헤지 손익은

(순간손익)

와 같이 된다. 여기서 이고 은 실현 공분산 는 판매 공분산이자 헤지 공분산이다.

이거 다 좋은데 해석 불가다 -_-; OTL. 억지로 좀 해석해 보자면 의 성질 중 하나가 와 가 positive definite하면 도 positive definite하다는 것이다. 따라서 가 positive definite하고 가 positive definite하면, 모든 기초자산이 얼루 튀건 상관 없이 전체적으로 충분히 움직여만 주면 트레이더가 무조건 돈 번단 얘기다 *^^*.

그런데 가 positive definite하면 옵션의 이론가 곡면이 convex하니까 기초자산이 하나일 때와 의미가 통하지? 어떤 행렬이 positive definite하다는 말은 스케일러(scalar) 값이 양수란 말과 상통하기도 한다. positive definite이면 모든 eigen-value들이 양수이기도 하고 말이다.

실제로 하루하루 손익이 어디서 발생했는지 분석할 목적이라면 다음과 같은 Discretize 버전을 쓰는 것이 좋을 것 같다

(크로스 감마 및 감마 손익).

여기서 감마 손익을 제하고 싶으면

(크로스 감마 손익).

만약 하루 사이의 손익 분석을 하는 것이라면 는 하루 동안 변한 주가가 되는 것이고, 는 어제 혹은 오늘의 아님 내삽 한 값을 쓰면 될 것 같다.